Hace un par de semanas aproximadamente publicamos un vídeo que trataba brevemente el tema de los fractales y ahora que ya hablé de ellos anteriormente, me dispongo a dedicarles una entrada para tratar el tema con un poco de profundidad.

¿Pero que son los fractales?

Para quienes no sepáis qué es un fractal comenzaré diciendo que, a grandes rasgos, podríamos definirlo como un cuerpo autosemejante, es decir, que conserva su estructura a diferentes escalas.

De una forma más cotidiana, un fractal cumple que si hacemos un zoom, a diferentes aumentos, seguiríamos viendo la misma imagen o una muy similar. Para ello os ilustraré con ejemplos más o menos conocidos.

En esta fotografía extraída de la página web “Matemàtiques i altres Sensibilitats” podemos ver cómo el Romanescu (una mezcla entre coliflor y brécol) cumple esa propiedad de autosemejanza. Otro ejemplo de fractales en la naturaleza serían por ejemplo las ramificaciones de los vasos sanguíneos o de los pulmones que lo aprovechan para poder repartir la sangre y el oxígeno de manera más eficiente a lo largo de nuestro cuerpo.

El origen del fractal y el caos

Pero el nombre de fractal no llegó hasta la década de los setenta cuando Mandelbrot le atribuyó dicho nombre. Sin embargo, los fractales son cuerpos y figuras matemáticas, con lo que a continuación os dejo algunos de los ejemplos más conocidos de fractales:

Aquí podemos observar las primeras iteraciones de la construcción de la curva de Peano y en las siguientes imágenes, la formación del triángulo de Sierpinski y el copo de nieve de Koch respectivamente.

Con unas pocas iteraciones basta para hacernos una idea de cómo será el conjunto en sí, pues no dejan de ser iteraciones. Estas iteraciones surgen de tomar un SFI (Sistema de Funciones Iteradas), es decir, tomamos la figura, le aplicamos una serie de funciones y obtenemos así la figura siguiente. En el caso del copo de nieve de Koch, partimos de un triángulo, reducimos dicho triángulo tres veces y lo colocamos en los lados del triángulo original y así sucesivamente a lo largo de infinitas iteraciones.

Así obtenemos una figura que llamaremos atractor del sistema y que será nuestro fractal.

Ejemplos de fractales en la ciencia

Otros ejemplos serían el conjunto de Cantor o la curva de Hilbert, muy similar a la de Peano.

En estas curvas (de Hilbert y Peano) nos centraremos a continuación pues son características por llenar una región del plano, en concreto, el cuadrado unidad. Esto quiere decir que el atractor de sus Sistemas de funciones iteradas correspondientes tienen por atractor el cuadrado [0,1] x[0,1]. Así que si lo miramos fríamente, hemos partido de una curva unidimensional y realizando sucesivas iteraciones hemos acabado teniendo una figura bidimensional.

Sería comparable a si tomamos un hilo muy fino y lo vamos doblando de forma que poco a poco vaya teniendo una cierta espesura, por ejemplo, las telas y tejidos que usamos no son más que un entramado de hilos muy juntos que van llenando una superficie. La gran diferencia entre la tela y la curva de Peano es que, si nos acercamos lo suficiente a la tela podríamos observar los huecos que quedan entre hilo e hilo mientras que la curva de Peano es un cuadrado totalmente relleno y sin huecos.

Las curvas de Peano y Hilbert dentro de la ciencia

De esta “contradicción” que permitiría llenar con una curva unidimensional una sección del plano surge la idea de dimensión fractal que atribuye una dimensión de valor real, igual o superior a la dimensión topológica de la figura.

Esta dimensión fractal nos permite medir el relieve o el nivel de accidentes de la costa o de la superficie planetaria, pudiendo afirmar así que como la dimensión de la superficie de marte es mayor que la terrestre, el terreno marciano será más accidentado que el de nuestro planeta. Así, podemos llegar a la conclusión de que un fractal es una figura/cuerpo cuya dimensión no es un número natural (por lo que las curvas de Peano y Hilbert no lo serían por tener dimensión 2).